Bonjour,
2)a)
Vn = 1/Un
⇒ Vn+1 = 1/Un+1 = (2 + 3Un)/2Un = 1/Un + 3/2 = Vn + 3/2
⇒ (Vn) suite arithmétique de raison r = 3/2 et de 1er terme V₀ = 1/U₀ = 1/2
b) Vn = 1/2 + 3n/2 = (3n + 1)/2
et Un = 1/Vn = 2/(3n + 1)
3) Un+1 - Un
= 2/(3(n+1) + 1) - 2/(3n + 1)
= 2/(3n + 4) - 2/(3n + 1)
= [2(3n + 1) - 2(3n + 4)]/(3n + 4)(3n + 1)
= -6/(3n + 4)(3n + 1)
Donc Un+1 - Un < 0 car (3n + 4)(3n + 1) > 0 pour tout n ∈ N
(Un) est donc décroissante
4) on conjecture lim Un = 0
5) 0 < Un ≤ 10⁻⁶
⇒ 2/(3n + 1) ≤ 10⁻⁶
⇒ 3n + 1 ≥ 2/10⁻⁶
⇔ n ≥ (2.10⁶ - 1)/3
soit n ≥ 666666,33...
et donc N₀ = 666 667
