1. y = f(x)
y = -2x+2
2. A = x*y
A = x*f(x)
A = x*(-2x+2)
A = -2x²+2x
3. Pour trouver l'aire maximale du rectangle, il me suffit de trouver pour quelle valeur de x la fonction dérivée de la fonction g(x) est nulle. Si la fonction dérivée est nulle, alors cela veut dire que la fonction de référence g(x) change de sens de variation en cette même valeur et admet, soit un minimum si la fonction est décroissante puis croissante, soit un maximum si la fonction est croissante puis décroissante. On sait que dans un polynôme du second degré, si le coefficient "a" est positif, alors elle est décroissante puis croissante et inversement si le coefficient est positif. Pour g(x), le coefficient a est égal à -2, ce qui veut donc dire que la fonction admet un maximum atteint en g'(x) = 0
g(x) = -2x²+2x
g'(x) = -4x+2
Je résous l'inéquation g'(x) = 0 afin de savoir pour quelle valeur de x g(x) admet un maximum.
g'(x) = 0
-4x+2 = 0
-4x = -2
x= 2/4
x = 1/2
Je connais donc pour quelle valeur de x les coordonnées du points M admettrons l'aire la plus grande possible pour le rectangle. J'ai alors M(1/2 ; y)
Afin de déterminer y, il me suffit de poser f(1/2) :
f(1/2) = -2*(1/2)+2
f(1/2) = 1
La position du point M pour que l'aire du rectangle soit maximale est donc M(1/2 ; 1)
