Bonsoir,
a) u ≥ 0 et v ≥ 0.
b) f(u) - f(v) = (u² + u) - (v² + v)
= u² + u - v² - v
= u² - v² + u - v
= (u² - v²) + (u - v)
= (u - v)(u + v) + (u - v) * 1
=(u - v)[(u + v) + 1]
=(u - v)(u + v + 1)
c) u ≥ 0 et v ≥ 0 ===> u + v + 1 > 0
d) On sait que f(u) - f(v) = (u - v)(u + v + 1) et que u + v + 1 > 0
Donc le signe de f(u) - f(v) est le même que celui de (u - v).
Or u ≤ v ===> u - v ≤ 0
Donc f(u) - f(v) ≤ 0
e) La fonction f est bien croissante sur [0;+∞[ car
Si u et v désignent deux réels quelconques de [0;+∞[ et u ≤ v, alors f(u) - f(v) ≤ 0.
ou encore,
Si u et v désignent deux réels quelconques de [0;+∞[ et u ≤ v, alors f(u) ≤ f(v)
C'est la définition même de la croissance de f sur [0;+∞[.
