👤
Answered

Rejoignez la communauté FRstudy.me et obtenez les réponses dont vous avez besoin. Posez vos questions et obtenez des réponses détaillées et précises de notre communauté d'experts dévoués.

Bonsoir,j'ai un exercice où j'aimerai être corrigé. On se propose de vérifier mes formules des sommations des termes d'une suite géométrique et celle d'une suite arithmétique.
Merci par avance.

Sagot :

Greencalogero
Bonsoir,Je vais commencer par la démonstration de la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
Soit la suite géométrique u(n) avec n∈N, u(0) sont 1er terme et q sa raison telle que:
u(n)=u(0)qⁿ 
Sa somme S(n) est donnée par:
S(n)=u(0)+u(1)+...+u(n-1)+u(n)
On remplace alors les terme par leur expression en fonction de u(0), n et q donc:
S(n)=u(0)+u(0)q+...+u(0)qⁿ⁻¹+u(0)qⁿ
On peut mettre alors u(0) en facteur donc:
S(n)=u(0)(1+q+....+qⁿ⁻¹+q)
S(n)=u(0)(1-q)(1+q+...+qⁿ⁻¹+qⁿ)/(1-q)
S(n)=u(0)(1+q+...+qⁿ⁺¹+q-q-q²...-qⁿ-qⁿ⁺¹)/(1-q)
On a alors dans la sommation bcp de terme qui s'annule donc:
S(n)=u(0)(1-qⁿ⁺¹)/(1-q)----->CQFD

On passe maintenant à la démonstration pour les suites arithmétique.
Soit la suite arithmétique u(n) de 1er terme u(0) et de raison r telle que:
u(n)=u(0)+nr
La somme S(n) des n termes de cette suite est:
S(n)=u(0)+u(1)+...+u(n-1)+u(n)
S(n)=u(0)+(u(0)+r)+...+(u(0)+(n-1)r)+(u(0)+nr)
S(n)=(n+1)u(0)+(r+2r+...+(n-1)r+nr)
S(n)=(n+1)u(0)+r(1+2+...+(n-1)+n)
S(n)=(n+1)u(0)+rn(n+1)/2 (somme des entiers naturels)
S(n)=(n+1)(u(0)+rn/2)
S(n)=(n+1)(2u(0)+nr)/2
S(n)=(n+1)(u(0)+u(0)+nr)/2
S(n)=(n+1)(u(0)+u(n))/2----->CQFD
Nous sommes ravis de vous compter parmi nos membres. Continuez à poser des questions, à répondre et à partager vos idées. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse. Vous avez des questions? FRstudy.me a les réponses. Merci de votre visite et à très bientôt.