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Sagot :
Bonjour ;
1)
La fonction f est définie sur IR , donc Df = IR .
On a : ∀ x ∈ Df , - x ∈ Df .
On a aussi : f(- x) = (- x)/(1 + |- x|) = - x/(1 + |x|) = - f(x) .
Conclusion :f est impaire sur Df .
2)
Si x ∈ [0 ; + ∞ [ alors |x| = x ;
donc : f(x) = x/(1 + x) = (x + 1 - 1)/(x + 1) = 1 - 1/(1 + x) .
On a : x ≥ 0 ;
donc : 1 + x ≥ 1 ;
donc : 0 < 1/(x + 1) ≤ 1 ;
donc : - 1 ≤ - 1/(x + 1) < 0 ;
donc : 0 ≤ 1 - 1/(x + 1) < 0 ;
donc : 0 ≤ f(x) < 1 .
Comme f est impaire , alors on a : ∀ x ∈ ] - ∞ ; 0] , - 1 < f(x) ≤ 0 .
Conclusion : ∀ x ∈ IR , |f(x)| < 1 .
1)
La fonction f est définie sur IR , donc Df = IR .
On a : ∀ x ∈ Df , - x ∈ Df .
On a aussi : f(- x) = (- x)/(1 + |- x|) = - x/(1 + |x|) = - f(x) .
Conclusion :f est impaire sur Df .
2)
Si x ∈ [0 ; + ∞ [ alors |x| = x ;
donc : f(x) = x/(1 + x) = (x + 1 - 1)/(x + 1) = 1 - 1/(1 + x) .
On a : x ≥ 0 ;
donc : 1 + x ≥ 1 ;
donc : 0 < 1/(x + 1) ≤ 1 ;
donc : - 1 ≤ - 1/(x + 1) < 0 ;
donc : 0 ≤ 1 - 1/(x + 1) < 0 ;
donc : 0 ≤ f(x) < 1 .
Comme f est impaire , alors on a : ∀ x ∈ ] - ∞ ; 0] , - 1 < f(x) ≤ 0 .
Conclusion : ∀ x ∈ IR , |f(x)| < 1 .
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