Afin de dresser le tableau de variation d'une fonction, je peux m'aider de la fonction dérivée de cette dernière en en étudiant le signe. On sait que si une fonction dérivée est négative sur un certain intervalle, alors la fonction de référence sera décroissante sur ce même intervalle, et inversement.
a) f(x) = 5-2(x+1)²
f(x) = 5-2(x²+2x+1)
f(x) = 5-2x²-4x-2
f(x) = -2x²-4x+3
f'(x) = -4x-4
Je peux donc résoudre l'inéquation f'(x) > 0 afin de pouvoir connaître les signes de la fonction dérivée.
-4x-4 > 0
-4x > 4
-x > 1
x < 1
Je peux donc dire que la fonction dérivée est positive sur ]-∞ ; 1[ et négative sur [1 ; +∞[. La fonction f est donc croissante sur ]-∞ ; 1[ et décroissante sur [1 ; +∞[. Je peux ainsi utiliser ce procédé pour le prochaines fonctions.
b) g(x) = 2(1-3x)(1-x)
g(x) = 2(1-x-3x+3x²)
g(x) = 2-2x-6x+6x²
g(x) = 6x²-8x+2
g'(x) = 12x-8
12x-8 > 0
12x > 8
x > 8/12
x > 2/3
c) u(t) = (1/4)-t²
u'(t) = -2t
-2t > 0
t < 0
d) v(t) = (1/3)(t-1)²
v(t) = (1/3)(t²-2t+1)
v(t) = (t²-2t+1)/3
v'(t) = ((2t-2)*3-(t²-2t+1)*0)/3²
v'(t) = (6t-6-0)/9
v'(t) = (2t-2)/3
(2t-2)/3 > 0
2t-2 > 0
2t > 2
t > 1
