Bonjour ;
a)
On a :
[tex] \dfrac{1}{1+e^{-x}} = \dfrac{1}{1+ \dfrac{1}{e^x} } = \dfrac{1}{ \dfrac{1+e^x}{e^x} } = \dfrac{e^x}{1+e^x} = \dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x} \ ,[/tex]
donc :
[tex]\int \dfrac{1}{1+e^{-x}} dx = \int \dfrac{(1+e^x)'}{1+e^x} dx = ln(1+e^x) + C^{te} \ ,[/tex]
donc :
[tex]\int_0^{+\infty} \dfrac{1}{1+e^{-x}} dx = + \infty \ . [/tex]
b)
On a :
[tex](e^{- \sqrt{x} })' = (- \sqrt{x} )' e^{- \sqrt{x} } = - \dfrac{1}{2 \sqrt{x} } e^{- \sqrt{x} } \ ,[/tex]
donc :
[tex] \dfrac{e^{- \sqrt{x} }}{ \sqrt{x} } = (-2e^{- \sqrt{x} })' \ ,[/tex]
donc :
[tex]\int_0^{+\infty} \dfrac{e^{- \sqrt{x} }}{ \sqrt{x} } dx = \int_0^{+\infty} (-2e^{- \sqrt{x} })' dx = [ -2e^{- \sqrt{x} }]_0^{+\infty} = 2 \ .[/tex]
