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Bonjour, vous pouvez m'aider pour cet exercice?? c'est le plus dur de tout mon dm, s'il vous plaît, merci d'avance (seconde)

Bonjour Vous Pouvez Maider Pour Cet Exercice Cest Le Plus Dur De Tout Mon Dm Sil Vous Plaît Merci Davance Seconde class=

Sagot :

f (x) = (2 x - 3)/(x - 3)

1) quelle est la nature de la fonction f et de sa courbe représentative

c'est une fonction hyperbolique, sa courbe est une hyperbole

2) Donner l'ensemble de définition de la fonction f

 pour que f existe, il faut que x - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

 Df = R - {3}

 3)  a) Justifier que ∀x ∈ R - {3} , f (x) = 2  + (3/(x-3)

 f (x) = 2 + 3/x - 3 = 2(x - 3)/x - 3  + 3/x - 3 = 2 x - 6 + 3)/x - 3

 = 2 x - 3)/x - 3 = f (x)

     b) En déduire le sens de variation de f sur ]3 ; + ∞[

 La fonction f est croissante sur cet intervalle, car x - 3 > 0 ⇒ x > 3  sur cet intervalle

 4) g (x) = 2 x² - 3)/x² - 3   ; x² - 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ √3  et  x ≠ - √3

 Df = R - {- √3 ; √3}

b) démontrer que : ∀ x ∈ R - {- √3 ; √3} ; g(x) ≤ 1

 g (x) = 2 x² - 3)/x² - 3 ≤ 1 ⇔ 2 x² - 3 ≤ x² - 3 ⇔ 2 x² - x² ≤ 0 ⇒ x² ≤ 0 ⇒ x ≤ 0

 pour x ≤ 0 ⇒ g (x) ≤ 1

 c) g '(x) = - 6 x/(x² - 3)² ⇒ g '(x) = 0 pour x = 0  ⇒ g(0) = 1 

 le réel 1 est le maximum pour g
Sdu61
Bonjour,
Ce que je mets entre parenthèses sont des indications pour améliorer ta compréhension de mes réponses, mais ne doivent pas forcément se trouver dans le rendu final.

1. Cette fonction est une fonction rationnelle. (C'est comme ça que l'on appelle les fonctions où une barre de fraction fait apparaître du x au dénominateur)
En traçant la courbe représentative de f, on remarque que c'est une hyperbole.

2. f est définie partout où le dénominateur ne s'annule pas. Puisqu'il s'annule pour x=3, elle est définie sur R-{3}.

3.a. On calcule :
2 + 3/(x-3) = 2(x-3)/(x-3) + 3/(x-3) = [2(x-3)+3]/(x-3) = (2x-3)/(x-3) = f(x)

3.b. Puisque la fonction inverse décroît sur ]0,+inf[, 3/(x-3) décroît sur ]3,+inf[, donc f décroit sur ]3,+inf[.

4.a. g(x) = 2 + 3/(x²-3)
g est définie partout où le dénominateur ne s'annule pas, donc elle est définie partout où x²≠3, donc partout sauf en √3 et -√3.
(attention, quand il y a des carrés, à ne pas oublier la racine négative!)
donc Dg =  R-{-√3,√3}.

4.b. -√3 < x < √3
=> 0 ≤ x² < 3
=> -3 ≤ x²-3
=> -1/3 ≥ 1/(x²-3)
=> -1 ≥ 3/(x²-3)
=> 2-1 ≥ 2+3/(x²-3)=g(x)
d'ou g(x)≤1

4.c. D'après 4b, 1 est un maximum si et seulement si 1 est atteint.
or, g(0) = 2 + 3/(-3) = 2-1 = 1.
Donc 1 est un maximum pour g.


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