Bonjour ;
Exercice n° 2 .
1)
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
2)
Les coordonnées du point M sont :
(- 2 + 8)/2 = 6/2 = 3 et (- 2 + (- 2))/2 = - 4/2 = - 2 .
Les coordonnées du point P sont :
(- 2 + 2)/2 = 0/2 = 0 et (- 2 + 6)/2 = 4/2 = 2 .
3)
Les points A et B sont des points différents l'un de l'autre et ont la même ordonnée ( - 2) , donc la droite (AB) est parallèle à l'axe des abscisses et a pour équation réduite : y = - 2 , donc la médiatrice du segment [AB] est parallèle à l'axe des ordonnées et passe par le point M qui est le milieu de [AB] et d'abscisse x = 3 , donc l'équation de la médiatrice du segment [AB] est : x = 3 .
4)
BA² = (8 - (- 2))² + ((- 2) - (- 2))² = 10² + 0² = 10² , donc : BA = 10 .
BC² = (6 - (- 2))² + (2 - 8)² = 8² + (- 6)² = 64 + 36 = 100 = 10² ,
donc : BC = 10 .
AC² = (2 - (- 2))² + (6 - (- 2))² = 4² + 8² = 64 + 16 = 80 ,
donc : AC = √(80) = √(16 x 5) = 4√5 .
On a donc : BA = BC et BA ≠ AC , donc le triangle ABC est isocèle en B , donc la médiatrice du segment [AC] passe les points B et P (milieu de [AC] .
Soit y = ax + b l'équation réduite de cette médiatrice .
En considérant le point P on a : 2 = - 2 * 0 + b = b et en considérant le point B on a : - 2 = 8a + 2 , donc : 8a = - 4 , donc : a = - 4/8 = - 1/2 , donc l'équation de la médiatrice en question est : y = - 1/2 x + 2 .
5)
Le point E appartient à la droite (d) d'équation réduite : x = 3 , donc l'abscisse du point E est : 3 .
Le point E appartient à la droite (d') d'équation : y = -1/2 x + 2 , donc l'ordonnée du point E est : - 1/2 * 3 + 2 = - 3/2 + 4/2 = 1/2 .
6)
E est l'intersection de deux médiatrices du triangle ABC , donc E est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , donc la droite (EN) qui passe par E et par N (le milieu de [BC]) est la médiatrice du segment [BC] , donc elle perpendiculaire à la droite (BC) .
7)
Le coefficient directeur de la droite (BC) est :
(6 - (- 2))/(2 - 8) = 8/(- 6) = - 4/3 .
Le coefficient directeur de la droite (MP) est :
(- 2 - 2)/(3 - 0) = - 4/3 .
Les coefficients directeur des deux droites sont égaux , donc ils sont parallèles.
On pouvait prévoir ce résultat par le théorème des milieux :
Si une droite joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors il est parallèle au troisième côté.
8)
F(u ; v) est le symétrique de E par rapport à P , donc P est le milieu du segment [EF] , donc on a :
(u + 3)/2 = 0 et (v + 1/2)/2 = 2 ;
donc : u = - 3 et v = 4 - 1/2 = 7/2 ;
donc les coordonnées du point F sont : - 3 et 7/2 .
Les droites (AC) et (EF) sont perpendiculaires , donc les diagonales de AECF sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu , donc AECF est un losange .
