On sait que les formules de calcul de l'aire d'un triangle isocèle et d'un carré sont les suivantes :
Aire triangle isocèle = (Base×Hauteur)/2
Aire carré = Côté²
Les expressions des deux figures que nous avons sont donc les suivantes :
Triangle : (2x×x)/2 = 2x²/2 = x²
Carré : (2x-1)² = 4x²-4x+1
Il me faut donc résoudre l'inéquation 4x²-4x+1 < x² :
4x²-4x+1 < x²
4x²-4x+1-x² < 0
3x²-4x+1 < 0
Afin de déterminer les racines de ce polynôme du second degré, il me suffit de calculer Δ puis de trouver les différentes solutions.
Δ = b²-4ac
Δ = (-4)²-4×3×1
Δ = 4
x1 = (-b+√(Δ))/2a
x1 = (-(-4)+√(4))/2*3
x1 = 6/6
x1 = 1
x2 = (-b-√(Δ))/2a
x2 = (-(-4)-√(4))/2*3
x2 = 2/6
x2 = 1/3
Nous connaissons maintenant les deux racines. De plus, nous savons que si le coefficient "a" est positive, alors la fonction est croissante puis décroissante admettant donc un minimum.
La solution de l'inéquation 3x²-4x+1 < 0 est donc l'intervalle ]1/3 ; 1[
L'aire du carré est strictement inférieure à l'aire de triangle pour x∈]1/3 ; 1[.
