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Bonjour on nous a donné un dm à faire et je n'y arrive pas pourriez-vous m'aider. Voici l'ennoncé:
Un agriculteur dispose de 500m de clôture pour fermer un enclos rectangulaire. On désigne par x et y les dimensions de ce rectangle (x et y peuvent être indifférement largeur ou longueur)
1) a) Exprime le périmètre du rectangle en fonction de x et y. b) Ecris y en fonction de x.

P=2x + 2y
2x + 2y=500
x+y=250
Donc y= 250-x

2) Détermine dans quel intervalle l, x et y varient.
3)On désigne par f la fonction associant à la variable x, l'aire du rectangle. Montre que f(x)=-x au carré + 250x
4) On désigne par P la parabole représant f.
a) Détermine les coordonnées du sommet S et de la parabole P.
b) Construis P dans un repère du plan.
c) En déduire les valeurs de x et y pour lesquels l'aire est maximale.
d) Prouve que l'aire maximale du rectangle est égale à 15 625mcarré.
5) Déterminer par calcul, les valeurs du nombre réel x pour lesquelles l'aire f(x) est égale à la moitié de l'aire maximale (on donnera des valeurs approchées à 0,1 près).
Merci d'avance

Sagot :



3) montrer que f (x) = - x² + 250 x


l'aire du rectangle est : x * y = x*(250 - x) = 250 x - x²

⇒ f (x) = 250 x - x²

4) a) détermine les coordonnées du sommet S de la parabole P

 f '(x) = 250 - 2 x ⇒ f '(x) = 0 = 250 - 2 x ⇒ x = 250/2 = 125

f (125) = 250 *125 - 125² = 31250 - 15625 = 15625

 S(125 ; 15625)

 c) en déduire les valeurs de x et y pour lesquelles l'aire est maximale

 pour  x = 125   y = 250 - 125 = 125

 d) prouve que l'aire maximale est 15625 m²

 x *y = 125*125 = 15625 m²

5)  f (x) = - x² + 250 x = 15625/2 ⇔ - x² + 250 x - 15625/2 = 0

 ⇔ - 2 x² + 500 x - 15625 = 0

 Δ = 500² - 4*2*15625 = 250000 - 125000 = 125000 ⇒√Δ ≈ 254

 x1 = - 500 + 254)/- 4 = 61.5

 x2 = - 500 - 254)/-4 = 188.5 
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