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Voilà je suis coincée. J'arrive pas à continuer cet exercice.
a et b sont deux réels appartenant à l'intervalle ] - 1;1 [. Montrer que - 1 < a + b / 1 + ab < 1

Sagot :

Ferrarirouge
Bonjour,
On a : -2 < a+b < 2
et : -1 < ab < 1
Donc  -2 < 1 +ab < 2
Pour trouver ces encadrements si l'on n'est pas sûr, essayer avec des exemples ! Par exemple, si a = 0,3 et b = -0,6 , on a ab = - 0,18 et a + b = -0,3. On voit clairement que le produit de 2 nombres à virgules reste un nombre de la forme 0,--- donc toujours dans l'intervalle ]-1;1[.

On a le droit ICI de dire que comme le numérateur et le dénominateur sont dans le même intervalle, leur quotient est dans l'intervalle ]-1;1[ parce qu'on sait que 1 + ab n'est pas égal à 0. En effet, pour que 1+ab = 0 il faudrait que ab = -1 or comme ab appartient à ]-1;1[ cest impossible. Donc on peut s'arreter ici pour le résultat demandé.

Sinon (dans un cas où on ne peut pas diviser (interdit de diviser par 0)): 
Montrer que  - 1 < a + b / 1 + ab < 1 , c'est montrer que 
-1-ab < a+b < 1+ab (on multiplie par (1+ab) )
Comme -2 < 1+ab < 2 (démo au-dessus) et donc -2 < -(1+ab) < 2
on a -2 < a+b < 2, ce que 'lon a montré au-dessus aussi.
Donc le résultat est correct pour tout a et b dans ]-1;1[.
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