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Bonjour,

Je vous présente mon exercice:
On considère la suite u définie pour tout entier n>= a 2 par Un = (1-(1/4)*(1-(1/9)*.....* (1-(1/n²)


Démontrer que pour tout entier n>=2 un+1 =

ainsi un € N , un >(ou egale) à 2
aisni
et

mais a la fin je trouve
donc je ne sais pas si c'est bon ou pas mais je narrive à arriver aux [n(n+2)]/(n+1)² *un souhaité
cordialement


Sagot :

Caylus
Bonjour,
[tex]\displaystyle{ln (\prod\limits_{k = 2}^n \left( {1 - \frac{1} { k^2} } \right)) =\sum\limits_{k = 2}^n {ln \left( {1 - \frac{1} { k^2} } \right) } \\\\ [/tex]
[tex]\displaystyle{ = ln \left( {\left( {1 - \frac{1}{{2^2 }}} \right) * \left( {1 - \frac{1}{{3^2 }}} \right) * ... * \left( {1 - \frac{1}{{n^2 }}} \right)} \right) }\\\\ [/tex]
[tex]\displaystyle{ = ln\ ( 1 - \frac{1}{2}) (1 - \frac{1}{3}) * ... * (1 - \frac{1}{n}) * (1 - \frac{1}{2}) * (1 - \frac{1}{3}) * ... * (1 - \frac{1}{n}) }\\\\ [/tex]
[tex]\displaystyle{ = ln {\left( {\frac{1}{{\not 2}} * \frac {\not 2 }{\not 3} *...* \frac{n - 1 } {n} } \right) * \left( \frac{\not 3}{2} *\frac{4}{\not 3} * ... * \frac{n + 1}{n} \right)} \\\\ [/tex]
[tex]\displaystyle{ = ln \left( \dfrac{1}{n} * \dfrac{n + 1}{2} \right)}\\\\ [/tex]
[tex]\displaystyle{ = ln \left( {\dfrac{1 + \dfrac{1}{n}} {2} } \right)} \\\\ [/tex]
[tex]\Rightarrow \sum\limits_{k = 2}^{ + \infty } {ln \left( {1 - \frac{1}{{k^2 }}} \right)} = \ln \dfrac{1}{2}\\\\ [/tex].

[tex]\displaystyle{\prod\limits_{k = 2}^n \left( {1 - \frac{1} { k^2} } \right) =\dfrac{1}{2} } [/tex]