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Ibtihel
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Bonjour, aidez-moi s'il vous plait pour cet exercice:

1) Montrer que pour tout a appartient à R on a :
cos (5a) = 16 cos^(5) (a) - 20 cos^(3) (a) + 5 cos (a)

2) Vérifier que :
16x^(5) - 20x^(3) + 5x + 1 = (x+1) ( 4x^(2) - 2x - 1 )^(2)

3) on pose t = cos (pi/5)
Montrer que t est solution de l'équation : 4x^(2) - 2x + 1 = 0 puis déduire que :
t = (1+√5)/4

4) Déduire : sin(pi/5) , cos(2pi/5) , sin(2pi/5) , cos(pi/10) , sin(pi/10)

Merci d'avance

Sagot :

Bonjour ;

1)

On a :

cos(2a) = cos²(a) - sin²(a) = 2cos²(a) - 1 ;

cos(3a) = cos(2a + a) = cos(2a) cos(a) - sin(2a) sin(a)

= (2cos²(a) - 1) cos(a) - 2sin²(a) cos(a)

= 2cos³(a) - cos(a) - 2(1 - cos²(a)) cos(a)

= 2cos³(a) - cos(a) - 2cos(a) + 2cos³(a)

= 4cos³(a) - 3cos(a) ;

sin(3a) = sin(2a + a) = sin(2a) cos(a) + cos(2a) sin(a)

= 2sin(a) cos²(a) + (2cos²(a) - 1 ) sin(a)

= 2sin(a) cos²(a) + 2sin(a) cos²(a) - sin(a)

= 4sin(a) cos²(a) - sin(a) ;

donc :

cos(5a) = cos(3a + 2a) = cos(3a) cos(2a) - sin(3a) sin(2a)

= (4cos³(a) - 3cos(a)) (2cos²(a) - 1) - 2sin(a) cos(a) (4sin(a) cos²(a) - sin(a))

= 8cos^5(a) - 4cos³(a) - 6cos³(a) + 3cos(a) - 8sin²(a) cos³(a) + 2sin²(a) cos(a)

= 8cos^5(a) - 4cos³(a) - 6cos³(a) + 3cos(a)

- 8(1 - cos²(a)) cos³(a) + 2(1 - cos²(a)) cos(a)

= 8cos^5(a) - 4cos³(a) - 6cos³(a) + 3cos(a)

- 8cos³(a) + 8cos^5(a) + 2cos(a) - 2cos³(a)

= 16cos^5(a) - 20cos³(a) + 5cos(a) .

2)

On a :

(x + 1) ( 4x² - 2x - 1 )²

= (x + 1) ((4x²)² + (2x)² + (- 1)² + 2(4x²) (- 2x) + 2(4x²) (- 1) + 2(- 2x) (- 1))

= (x + 1) (16x^4 + 4x² + 1 - 16x³ - 8x² + 4x)

= (x + 1) (16x^4 - 16x³ - 4x² + 4x + 1)

= 16x^5 - 16x^4 - 4x³ + 4x² + x + 16x^4 - 16x³ - 4x² + 4x + 1

= 16x^5 - 20x³ + 5x + 1 .

3)

On a :

- 1 = cos(π) = cos(5 * π/5) = 16cos^5(π/5) - 20cos³(π/5) + 5cos(π/5) ;

donc :

16cos^5(π/5) - 20cos³(π/5) + 5cos(π/5) + 1 = 0 ;

donc :

(cos(π/5) + 1) (4cos²(π/5) - 2cos(π/5) - 1) = 0 ;

donc :

4cos²(π/5) - 2cos(π/5) - 1 = 0 car cos(π/5) + 1 ≠ 0 ;

donc t = cos(π/5) est solution de l'équation en x : 4x² - 2x - 1 = 0 .

On a : 4x² - 2x - 1 = 0 ;

donc : Δ = (- 2)² - 4 * 4 * (- 1) = 4 + 16 = 20 = 4 * 5 = 2² * 5 ;

donc : √Δ = √(2² * 5) = 2√5 ;

donc les solutions de l'équation sont :

x1 = (2 - 2√5)/8 = (1 - √5)/4 < 0 et x2 = (2 + 2√5)/8 = (1 + √5)/4 > 0 .

Comme on a : 0 < π/5 < π/2 alors cos(π/5) > 0 ;

donc : t = cos(π/5) = (1 + √5)/4 .

4)

On a : cos²(π/5) = ((1 + √5)/4)² = (1 + (√5)² + 2√5)/16

= (1 + 5 + 2√5)/16 = (6 + 2√5)/16 = (3 + √5)/8 ;

donc : sin²(π/5) = 1 - cos²(π/5) = 1 - (3 + √5)/8

= (8 - 3 - √5)/8 = (5 - √5)/8 .

Comme on a : 0 < π/5 < π/2 alors sin(π/5) > 0 ;

donc : sin(π/5) = √((5 - √5)/8) .

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