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Sagot :
f (x) = - x⁴ + 0.02 x² + 2 f est définie sur [- 1 ;1]
1) Justifier pour tout nombre de [-1 ; 1] f '(x) = 4 x(0.1 - x)(0.1 + x)
f 'x) = - 4 x³ + 0.04 x
⇔ f '(x) = 0.04 x - 4 x³ ⇔ 4 x(0.01 - x²)
⇔ 4 x(0.1² - x²)
0.1² - x² est une identité remarquable de la forme a² - b² = (a + b)(a - b)
0.1² - x² = (0.1 + x)(0.1 - x)
on obtient finalement f '(x) = 4 x(0.1 + x)(0.1 - x)
2) Etudier le signe de f '(x)
x - 1 0 1
4 x - +
0.1 + x 0 + +
0.1 - x + + 0
f ' (x) 0 - 0 + 0
3) Dresser le tableau de variation de f
f ' (x) = 4 x(0.1 - x)(0.1 + x) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1 ; x = - 1
f (0) = 2
f (- 1) = 1.02
f (1) = 1.02
x - 1 0 1
f (x) 1.02 →→→→→→→ 2→→→→→→→→ 1.02
croissante décroissante
4) la conjoncture de Fanny est valide car on trouve le maximum de la fonction est 2 pour x = 0 ⇒ f (0) = 2
5) f (-1) = f(1) = 1.02
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