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Bjr ou bsr j'aurais besoin d'aide dans cet exercice merci d'avance voicie

l'énoncé :

Fanny à tracer à l'aide de logiciel de géométrie la courbe représentative de la fonction f définie sur l'intervalle[-1;1] par

f(x)=-x^4+0,02x^2+2. Elle conjoncture que f(0)=2 et un maximum local de la fonction f

1) justifier que pour tout nombre de[-1;1], f'(x)=4x(0,1-x)(0,1+x)

2) Etudier le signe de f'(x)

3) dresser le tableau de variation de f

4) la conjoncture de Fanny est-elle valide ?

5) compléter le travail de Fanny en donnant tous les extremum local de la fonction f.


Sagot :

f (x) = - x⁴ + 0.02 x² + 2 f est définie sur [- 1 ;1]

1) Justifier pour tout nombre de [-1 ; 1] f '(x) = 4 x(0.1 - x)(0.1 + x)

f 'x) = - 4 x³ + 0.04 x

⇔ f '(x) = 0.04 x - 4 x³ ⇔ 4 x(0.01 - x²)

⇔ 4 x(0.1² - x²)

0.1² - x² est une identité remarquable de la forme a² - b² = (a + b)(a - b)

0.1² - x² = (0.1 + x)(0.1 - x)

on obtient finalement f '(x) = 4 x(0.1 + x)(0.1 - x)

2) Etudier le signe de f '(x)

x - 1 0 1

4 x - +

0.1 + x 0 + +

0.1 - x + + 0

f ' (x) 0 - 0 + 0

3) Dresser le tableau de variation de f

f ' (x) = 4 x(0.1 - x)(0.1 + x) = 0 ⇒ x = 0 ; x = 1 ; x = - 1

f (0) = 2

f (- 1) = 1.02

f (1) = 1.02

x - 1 0 1

f (x) 1.02 →→→→→→→ 2→→→→→→→→ 1.02

croissante décroissante

4) la conjoncture de Fanny est valide car on trouve le maximum de la fonction est 2 pour x = 0 ⇒ f (0) = 2

5) f (-1) = f(1) = 1.02

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