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Bonjour, je n'arrive pas à résoudre cet éxercice:

1. Soit f une fonction définie et croissante sur [a,∞[ non majorée sur cet intervalle, montrer que la limite de f(x) en +∞ est egale à +∞

2. Ce résultat reste-t-il valable si la fonction n'est pas croissante?

3. Donner une propriété analogue sur ]-∞;a]

Sagot :

Scoladan

Bonjour,

1) f est non majorée ⇒ pour tout α ∈ [a;+∞[, il existe β ∈ [a;+∞[ / f(β) > f(α)

Or f est croissante sur [a;+∞[

Donc nécessairement f(β) > f(α) ⇒ β > α

⇒ Pour tout α ∈ [a;+∞[, quand α → +∞, il existe β > α tel que f(β) > f(α)

⇒ lim f(x) = +∞

2) si f n'est pas strictement croissante, on peut avoir lim f(x) en +∞ = -∞

3) idem : Si f est décroissante et non majorée sur ]-∞;a], alors lim f(x) en -∞ = -∞

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