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Sagot :
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n
4ⁿ + 5 est un multiple de 3
Pour démontrer que P(n) = 4ⁿ + 5 est un multiple de 3 ; il faut :
1) Initialisation : il faut vérifier qu'au rang n = 0 ; P(0) est vraie
P(0) = 4⁰ + 5 = 6 donc 6 est un multiple de 3 ⇒ P(0) est donc vraie
2) Héridité : supposons qu'au rang n donnée , P(n) est vraie
⇒ P(n) = 4ⁿ + 5 est un multiple de 3 ⇔ 4ⁿ + 5 = 3 k avec k ∈ N
et il faut montrer qu'au rang n + 1; P(n+1) est vraie aussi
P(n+1) = 4ⁿ⁺¹ + 5 = 4*4ⁿ + 5 or; 4ⁿ = 3k - 5 d'après l'héridité
P(n+1) = 4ⁿ⁺¹ + 5 = 4*4ⁿ + 5 = 4(3 k - 5) + 5 = 12 k - 20 + 5 = 12 k - 15
⇒ P(n+1) = 3(4 k - 5) est un multiple de 3
donc P(n + 1) est vraie
3) Conclusion: P(0) est vraie et P(n) est hériditaire à partir du rang 0
donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n
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