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Bonjour,
pour conjecturer une expression de Un, on va calculer les premiers termes :
U0 = 0
U1 = √(4 + U0²) = √4 = 2
U2 = √(4 + 2²) = √8 = 2√2
U3 = √(4 + 8) = √12 = 2√3
U4 = √(4 + 12) = √16 = 4 qu'on peut aussi écrire 2√4
U5 = √(4 + 16) = √20) = 2√5
etc...
on peut donc conjecturer que Un = 2√n
Ce qu'on va essayer de démontrer par récurrence.
Au rang n = 0, U0 = 0 et 2√0 = 0 donc on a bien U0 = 2√0, propriété vérifiée
Hypoyhèse : On suppose que la propriété est vraie au rang n, soit Un = 2√n
Au rang (n + 1) :
Un+1 = √[4 + Un²]
= √[4 + (2√n)²] par hypothèse de récurrence
= √[4 + 4n]
= √[4(1 + n)]
= 2√(n + 1)
⇒ hérédité démontrée