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Bonjour,
initialisation pour n = 2 (et pas 1 car n > 1) : ok
Hypothèse : Propriété vraie au rang n, soit
3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹ est divisible par 7, soit = 7k (avec k ∈ Z)
Au rang (n+1) :
3²⁽ⁿ⁺¹⁾ ⁺² = 3²ⁿ⁺⁴ = 3²ⁿ⁺² x 3²
et 2⁽ⁿ⁺¹⁾ ⁺¹ = 2ⁿ⁺² = 2ⁿ⁺¹ x 2
Or 3² = 9 = 7 + 2
Donc 3²ⁿ⁺⁴ = (7 + 2)3²ⁿ⁺²
On en déduit : 3²ⁿ⁺⁴ - 2ⁿ⁺² = 7 x 3²ⁿ⁺² + 2 x 3²ⁿ⁺² - 2 x 2ⁿ⁺¹
= 7 x 3²ⁿ⁺² + 2(3²ⁿ⁺² - 2ⁿ⁺¹)
= 7 x 3²ⁿ⁺² + 2 x 7k
= 7 x (3²ⁿ⁺² + 2k)
donc divisible par 7
⇒ récurrence démontrée