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Pourriez-vous m'aider svp?

Soit P(x)=ax²+bx+c un trinome du second degré admettant 2 racines réelles x1 et x2

1) montrer que x1+x2=-b/a et x1x2=c/a

2) calcul de x1²+x2²

a)compléter l'égalité x1²+x2²=(x1+x2)²-...

b)en déduire l'expression de x1²+x2² en fonction de a, b et c

3) calcul de x1 au cube +x2 au cube

a) montrer que pour tous réels A et B, (A+B)le tout au cube = A au cube + 3A²B +3AB²+B au cube

b) en s'inspirant de la question 2 et de la question précédente, exprimer x1 au cube + x2 au cube en fonction de x1 + x2 et x1x2

c) en déduire l'expression de x1 au cube + x2 au cube en fonction de a, b et c

4) application soit f(x)=x²-2x-1. Déterminer sans calculer ses racines, leur somme, celles de leurs carrés et celle de leurs cubes

Sagot :

Scoladan

Bonjour,

1) x₁ = (-b - √Δ)/2a et x₂ = (-b + √Δ)/2a

⇒ x₁ + x₂ = [(-b - √Δ) + (-b + √Δ)]/2a = -2b/2a = -b/a

et x₁x₂ = (-b - √Δ)(-b + √Δ)/4a² = [(-b)² - (√Δ)²]/4a² = [b² - (b² - 4ac)]/4a² = 4ac/4a² = c/a

2) a) x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

b) on en déduit : x₁² + x₂² = (-b/a)² - 2c/a = b²/a² - 2ac/a² = (b² - 2ac)/a²

3) a) (A + B)³

= (A + B)(A + B)²

= (A + B)(A² + 2AB + B²)

= A³ + 2A²B + AB² + A²B + 2AB² + B³

= A³ + 3A²B + 3AB² + B³

= A³ + 3AB(A + B) + B³

b) x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂)

c) x₁³ + x₂³

= (-b/a)³ - 3(c/a)(-b/a)

= -b³/a³ + 3abc/a³

= (3abc - b³)/a³

4) f(x) = x² - 2x - 1

x₁ + x₂ = -b/a = -(-2)/1 = 2

x₁² + x₂² = (b² - 2ac)/a² = (4 + 2) = 6

x₁³ + x₂³ = (3abc - b³)/a³ = (6 + 8)/1 = 14

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