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Bonjour,
1) Recette = Nb de spectateurs x Prix d'entrée = xp = (50 - 2p)p = -2p² + 50p
2) Pour amortir les dépenses il faut : Recettes > Dépenses
soit : -2p² + 50p > 308
⇔ -2p² + 50p - 308 > 0
⇔ f(p) > 0
3) -2p² + 50p - 308 > 0
⇔ p² - 25p + 154 < 0 (en divisant les 2 membres par -2)
Δ = (-25)² - 4 x 1 x 154 = 625 - 616 = 9 = 3²
donc 2 racines : p = (25 - 3)/2 = 11 et p = (25 + 3)/2 = 14
4) On en déduit que pour amortir les dépenses, il faut :
p² - 25p + 154 < 0 ⇒ p ∈ [11 ; 14]
(un trinôme est du signe de a à l'extérieur des racines, donc a = 1 > 0, le trinôme est négatif entre les 2 racines)
Le nombre de spectateurs est x = 50 - 2p, donc plus le prix pest petit, plus on aura de spectateurs.
On choisit donc p = 11 € ⇒ x = 50 - 2x11 = 28 spectateurs