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Bonjour,
si on regarde en effet les restes des premières puissances de 2, il semble qu'elles soient congrues à 2,4,8,6,2,4,8,6,etc....
Reste à le montrer. Soit à démontrer que 2ⁿ⁺⁴ ≡ 2ⁿ [10] :
2ⁿ⁺⁴ = 2⁴ x 2ⁿ
⇒ Si 2ⁿ ≡ r [10] , alors 2ⁿ⁺⁴ ≡ 16r [10]
r = 2 ⇒ 16r = 32 ≡ 2 [10]
r = 4 ⇒ 16r = 64 ≡ 4 [10]
r = 6 ⇒ 16r = 96 ≡ 6 [10]
r = 8 ⇒ 16r = 128r ≡ 8 (10]
⇒ par récurrence, 2ⁿ⁺⁴ ≡ 2ⁿ [10]
63 = 4*15 + 3
⇒ 2⁶³ = 2⁴ˣ¹⁵ ⁺ ³
2⁴ˣ¹⁵ = 2⁶⁰ ≡ 2⁰ = 1 [10]
⇒ 2⁶³ ≡ 2³ [10]
⇒ reste = 8