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Bonsoir tout le monde, j'aurai besoin de votre pour un exercice sur le nombre d'or.

Je sais que Φ^2=Φ+1 , et je dois démontrer simplement (sans utiliser la valeur de Φ) que Φ^3=2Φ1 et que Φ^-1= Φ-1

Voila j'espere que vous pourrez m'aider merci d'avance

Sagot :

1) démontrer que Ф³ = 2 Ф + 1

sachant que Ф² = Ф+1

Ф² = Ф+1 ⇔ Ф x Ф² = Ф x (Ф + 1) ⇔ Ф³ = Ф x Ф + Ф ⇔ Ф³ = Ф² + Ф

⇔ Ф³ = (Ф + 1) + Ф ⇔ Ф³ = 2 Ф + 1

2) démontrer que Ф⁻¹ = Ф - 1

Ф⁻¹ = 1/Ф ⇔ Ф⁻¹ = 1/(Ф² - 1) = 1/(Ф - 1)(Ф + 1)

⇔ Ф⁻¹ = (Ф² - Ф)/(Ф - 1)(Ф + 1) = Ф(Ф - 1)/(Ф - 1)(Ф + 1) = Ф/(Ф+1)

⇔ Ф⁻¹ = (Ф² - 1)/(Ф+1) = (Ф - 1)(Ф+1)/(Ф+1) = Ф - 1

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