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Bonjour j'ai un exercice à faire mais je ne vois pas du tout comment il faut faire.

Voici l'exercice :


Soit la fonction f définie sur ]1;+infini[ par :


f(x) = 2 + 1 / x-1.


Démontrer que la fonction f est décroissante sur ]1;+infini[.


Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Merci.

Sagot :

Bonjour ;

Tout d'abord on a :

f(x) = (2x + 1)/(x - 1) = (2x - 2 + 3)/(x - 1) = (2(x - 1) + 3)/(x - 1) = 2 + 3/(x - 1) .

Soient x et y appartenant à ] 1 ; + ∞ [ avec x > y ;

donc on a : x > y > 1 ;

donc : x - 1 > y - 1 > 0 ;

donc : 0 < 1/(x - 1) < 1/(y - 1) ;

donc : 0 < 3/(x - 1) < 3/(y - 1) ;

donc : 2 < 2 + 3/(x - 1) < 2 + 3/(y - 1) ;

donc : 2 < f(x) < f(y) ;

donc f est décroissante sur ] 1 ; + ∞ [ .

Et comme pour tout x ∈ ] 1 ; + ∞ [ on a : 2 < f(x) on peut dire que f est minorée par 2 .

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