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Je bloque sur un exercice de mon devoir :

Soit (un) la suite définie par [tex] u_{0} = 1 [/tex]
et [tex] u_{n+1} = \frac{u_{n}-3}{2} [/tex] pour tout n € N
On pose [tex] v_{n} = u_{n} +3 [/tex]

1) Démontrer que la suite [tex] v_{n} [/tex] est une suite géométrique : précisez la raison et le premier terme de cette suite
2) Expremier [tex] v_{n} [/tex] en fonction de n ; en déduire l'expression de [tex] u_{n} [/tex] en fonction de n
3) Déterminer la limite de la suite (un)

Je vous remercie d'avance pour votre aide

Sagot :

Caylus

Bonjour,


[tex] u_0=1\\
u_{n+1}=\dfrac{u_n-3}{2} \\
v_n=u_n+3\\

1)\\
v_{n+1}=u_{n+1}+3\\
=\dfrac{u_n-3}{2}+3\\
=\dfrac{u_n-3+6}{2}\\
=\dfrac{u_n+3}{2}\\
=\dfrac{v_n}{2}\\

v_0=u_0+3=1+3=4\\
(v_n)\ est\ g\' eom\' etrique\ de\ raison\ \dfrac{1}{2}.\\\\

2)\\
\boxed{v_n=\dfrac{4}{2^n}}\\\\

\boxed{u_n=\dfrac{4}{2^n}+3}\\\\

3)\\

\lim_{n \to \infty} u_n= \lim_{n \to \infty} \dfrac{4}{2^n}+3}=0+3=3.\\\\


[/tex]

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