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ABC est un triangle. On note a, b, c, (avec un chapeau sur les angles) les mesures de ses angles et a,b, c les distances BC,AC, AB.

1) Montrer que [tex] AB^{2} [/tex] =AB.AC + BA.BC (les vecteurs AB et AC et les vecteurs BA et BC)
puis que c = b cos â + a cos b
Ecrire les deux autres égalités analogues

2) En déduire que a + b + c = (b+c)cos â + (a+c) cos B + (a +b) cos C et [tex] a^{2} + b^{2} + c^{2} [/tex] = 2 (bc cos â + ac cos B + ab cos C)

3) Simplifier l'expression [tex] \frac{Cos A}{a} + \frac{Cos B}{b} + \frac{Cos C}{c} [/tex]

Sagot :

Caylus

Bonjour,


1)


[tex] \overrightarrow{AB}^2=\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AB}\\
=\overrightarrow{AB}*(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB})\\
=\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{BC}\\
=\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{CB}\\

\Rightarrow\ c^2=c*b*cos(\widehat{A})+c*a*cos(\widehat{B})\\

\Rightarrow\ c=b*cos(\widehat{A})+a*cos(\widehat{B})\\

[/tex]

[tex] Par\ permutation\ circulaire:\\

a=b*cos(\widehat{C})+c*cos(\widehat{B})\\
b=c*cos(\widehat{A})+a*cos(\widehat{C})\\
c=b*cos(\widehat{A})+a*cos(\widehat{B})\\

[/tex]


2)


On additionne membre à membre:


[tex] a+b+c=(b+c)cos(\widehat{A})+(a+c)cos(\widehat{B})+(a+b)cos(\widehat{C})\\

[/tex]


[tex] a^2=a*b*cos(\widehat{C})+a*c*cos(\widehat{B})\\
b^2=b*c*cos(\widehat{A})+a*b*cos(\widehat{C})\\
c^2=b*c*cos(\widehat{C})+a*c*cos(\widehat{B})\\

a^2+b^2+c^2=2ab*cos(\widehat{C})+2bc*cos(\widehat{A})+2ac*cos(\widehat{B})\\\\
[/tex]


[tex] \dfrac{cos(\widehat{A})}{a} +\dfrac{cos(\widehat{B})}{b}+\dfrac{cos(\widehat{C})}{c}\\\\
=\dfrac{bc*cos(\widehat{A}) + ac*cos(\widehat{B}) + ab*cos(\widehat{C})}{abc}\\\\

=\dfrac{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2} }{abc} \\\\

=\dfrac{a^2+b^2+c^2}{2abc}\\\\
[/tex]






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