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Bonjour, j'ai quelques difficultés à résoudre un exercice de mon devoir.
1) Démontrer que pour tout réel x, on a :

[tex] sin^{2} x - sin (x + \frac{Pi}{6}) sin ( x - \frac{Pi}{6}) = \frac{1}{4} [/tex]

2) En déduire que la valeur de sin [tex] \frac{Pi}{12} [/tex] est [tex] \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} [/tex]

Merci d'avance pour votre aide

Sagot :

Caylus

Bonsoir,


[tex] Rappel:\\\\ \boxed{sin(A)*sin(B)=\dfrac{cos(A-B)-cos(A+B)}{2} }\\\\
\boxed{cos(2A)=1-2sin^2(A)}\\\\
sin(x+\dfrac{\pi}{6})*sin(x-\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{cos(\dfrac{\pi}{3})-cos(2x)}{2} =\dfrac{1}{4} -\dfrac{cos(2x)}{2}\\\\
sin^2(x)-sin(x+\dfrac{\pi}{6})*sin(x-\dfrac{\pi}{6})\\
=sin^2(x)-(\dfrac{1}{4} -\dfrac{1-2sin^2(x)}{2})\\
=sin^2(x)-\dfrac{1}{4} +\dfrac{1}{2}-sin^2(x)\\
=\dfrac{1}{4}
[/tex]

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