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Bonjour,
J'aimerais que vous m'aidiez à résoudre cette question que je n'ai pas réussie à répondre

On sait que pour tout réel x on a

[tex] sin^{2} x - sin(x+\frac{pi}{6} )sin(x-\frac{Pi}{6}) = \frac{1}{4} [/tex]

En déduire que la valeur de sin [tex] \frac{Pi}{12} [/tex] est [tex] \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} [/tex]

Je vous remercie d'avance pour vos réponses

Sagot :

Scoladan

Bonjour,

en appliquant la formule donnée pour x = π/12, on obtient :

sin²(π/12) - sin(π/12 + π/6)sin(π/12 - π/6) = 1/4

soit : sin²(π/12) - sin(3π/12)sin(-π12) = 1/4

⇔ sin²(π/12) + sin(π/4)sin(π/12) = 1/4

⇔ sin²(π/12) + √(2)sin(π/12)/2 - 1/4 = 0

En posant X = sin(π/12) :

X² + √(2)X/2 - 1/4 = 0

Δ = [√(2)/2]² - 4x1x(-1/4) = 1/2 + 1 = 3/2

⇒ sachant que X = sin(π/12) > 0 : X = [-√(2)/2 + √(3)/√(2)]/2

⇔ X = [-2/2 + √(3)]/2√(2)

⇔ X = [-√(2) + √(2)√(3)]/4

⇔ X = (√(6) - √(2)]/4

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