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Pour résoudre [tex] \sqrt{(x+5)}\geq x-1 [/tex], nous pouvons procéder par changement de variable.
(Que ce soit [tex] \sqrt{(x+5)}\geq x-1 [/tex] ou [tex] \sqrt{(x+5)} [/tex] > x-1 ne change pas grand chose au raisonnement...)
Remarquons déjà que [tex] \sqrt{(x+5)} [/tex] n' est défini que sur [-5 ; +∞ [, c'est-à-dire que (x+5) doit être supérieur ou égal à 0 et que donc nous savons déjà que x ≥ -5.
Si nous notons [tex] X = x+5 [/tex] alors [tex] x-1 = x+5-6=X-6 [/tex] et donc
[tex] \sqrt{(x+5)}\geq x-1 [/tex] peut s'écrire [tex] \sqrt{X} \geq X-6 [/tex].
Nous pouvons faire un nouveau changement de variable en notant
[tex] K=\sqrt{X} [/tex] avec K ≥ 0
L'inéquation peut alors s'écrire K ≥ K² - 6
K ≥ K² - 6 ⇔ 0 ≥ K²-K-6
Le discriminant du polynôme K²-K-6 est Δ = b²-4ac = 1 - 4*(-6) = 1 + 24 = 25.
Donc les deux racines de ce polynôme sont :
[tex] K_1 =\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1-5}{2} =-2 [/tex]
[tex] K_2 =\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1+5}{2} =3 [/tex]
Par conséquent, K²-K-6 ≤ 0 ⇒ -2 ≤ K ≤ 3.
Or nous savons que K doit être positif ou nul. Donc 0 ≤ K ≤ 3.
Donc en changeant la variable K par la variable X
(puisque [tex] K=\sqrt{X} [/tex]) : [tex] 0\leq \sqrt{X} \leq 3 [/tex]
Donc 0 ≤ X ≤ 9.
En remplaçant maintenant X par x puisque X = x+5 :
0 ≤ X ≤ 9 ⇔ 0 ≤ x+5 ≤ 9 ⇔ -5 ≤ x ≤ 4
Donc dans |R, [tex] \sqrt{x+5} \geq x-1 [/tex] ⇔ [tex] -5 \leq x\leq 4 [/tex]
Si l'inéquation comprend des inégalités strictes, c'est-à-dire
[tex] \sqrt{x+5} [/tex] > [tex] x-1 [/tex] alors la réponse serait -5 < x < 4.
La réalisation des courbes [tex] y=\sqrt{x+5} [/tex] et[tex] y=x-1 [/tex] (sur un logiciel ou une calculatrice) permet de confirmer.
