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Salut : )
on pose y = x²
l'inéquation équivaut y² - 5y + 6 ≥ 0
discriminant Δ = 25 - 4(1)(6) = 1
deux racines 2 et 3
donc il faut que y ∈ ] - ∞ , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ]
or y ≥ 0
donc il faut que y ∈ [ 0 , 2 ] ∪ [ 3 , + ∞ ]
donc il faut que x ∈ ] - ∞ , √3 ] ∪ [ - √2 , √2 ] ∪ [ √3 , + ∞ ]
Bonjour
Pour résoudre cette inéquation, nous allons effectuer un changement de variable : nous allons noter X le carré de x.
[tex] X=x^{2} [/tex]
Ainsi l'inéquation devient : [tex] X^2-5X+6\geq 0 [/tex]
Le problème revient donc maintenant à résoudre une inéquation du second degrés.
A partir de là, il existe deux possibilités : soit nous utilisons les formules pour résoudre les équations du second degrés ([tex] ax^2+bx+c [/tex]), soit nous nous débrouillons autrement.
Première solution : avec les formules
Calcul du discriminant Δ = b²- 4ac.
Ici le polynôme [tex] ax^2+bx+c [/tex] est X²- 5X +6. Donc a=1 ; b = -5 et c = 6.
Donc en appliquant la formule du discriminant Δ = 25 - 4*6 = 1
Les deux solutions sont données par
[tex] x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} [/tex]
et
[tex] x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} [/tex]
Donc ici :
[tex] X_1=\frac{5+1}{2} =3 [/tex]
et
[tex] X_2=\frac{5-1}{2} =2 [/tex]
Les deux racines du polynôme du second degrés sont donc [tex] X_1 =3 [/tex] et [tex] X_2=2 [/tex].
Comme le coefficient a de [tex] X^2-5X+6 [/tex] est positif (a=1), la représentation graphique de ce polynôme est une parabole concave en haut. Donc le polynôme étant du même signe que X, sauf entre ces racines, il est positif ou nul pour X ∈ ]-∞ ; 2] ∪ [3 ; +∞[. Or X est un carré ( [tex] X=x^2 [/tex]). Donc X est forcément positif. La solution devient donc X ∈ [0 ; 2] ∪ [3 ; +∞[
Donc x² ∈ [0 ; 2] ∪ [3 ; +∞[.
L'étude de la parabole d'équation y = x² permet de trouver les réels x correspondant :
Lorsque x² est compris entre 0 et 2 alors x est compris entre -√2 et √2 :
x² ∈ [0 ; 2] ⇔ x ∈ [-√2 ; √2]
De même x² ∈ [3 ; +∞[ ⇔ x ∈ ]-∞ ; -√3] ∪[√3 ; +∞[
La solution de l'inéquation [tex] x^4-5x^2+6 \geq 0 [/tex] est donc
x ∈ ]-∞ ; -√3] ∪ [-√2 ; √2] ∪ [√3 ; +∞[
Deuxième solution : sans les formules.
Il faut factoriser le polynôme X²-5X+6 :
[tex] X^2-5X+6 = (X^2-5X+\frac{25}{4} -\frac{1}{4} )=(X^2-5X+\frac{25}{4})-\frac{1}{4} [/tex]
Or [tex] (X^2-5X+\frac{25}{4}) = (X-\frac{5}{2} )^2 [/tex] (identité remarquable).
Donc [tex] X^2-5X+6 = (X-\frac{5}{2})^2-\frac{1}{4} [/tex]
Donc, en utilisant l'identité remarquable (a² - b²) = (a - b)(a + b) :
[tex] X^2-5X+6 = [(X-\frac{5}{2})-\frac{1}{2}] [(X-\frac{5}{2})+\frac{1}{2}] [/tex]
soit [tex] X^2-5X+6 = (X-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}) [(X-\frac{5}{2}+\frac{1}{2})=(X-3)(X-2) [/tex]
Il suffit ensuite de construire un tableau de signe pour résoudre l'inéquation
(X-3)(X-2) ≥ 0.
On trouve bien sûr les mêmes solutions qu'avec la première méthode.
Bon courage. N'hésite pas si tu as des questions.