Bonsoir,
Nous avons ici une fonction polynôme de degré 2 définie sur [tex] \mathbb{R} [/tex] par [tex] h(x)=2x^2-4x-6 [/tex]
1. (a)
[tex]2(x-1)^2-8\\=2(x^2-2x+1)-8\\=2x^2-4x+2-8\\=2x^2-4x-6\\=h(x)[/tex]
Il s'agit de la forme canonique : [tex] \displaystyle{h(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta} [/tex]
1. (b)
[tex] 2(x-3)(x+1)\\=2(x^2+x-3x-3)\\=2x^2+2x-6x-6\\=2x^2-4x-6\\=h(x) [/tex]
Il s'agit de la forme factorisée : [tex] a(x-x_1)(x-x_2) [/tex]
2. (a)
[tex] h\left(2\sqrt{3}\right)=2\left(2\sqrt{3}\right)^2-4\left(2\sqrt{3}\right)-6\\
h\left(2\sqrt{3}\right)=2(4\times3)-8\sqrt{3}-6\\h\left(2\sqrt{3}\right)=24-8\sqrt{3}-6\\h\left(2\sqrt{3}\right)=18-2\sqrt{3} [/tex]
[tex] h\left(\sqrt{3}-1\right)=2\left(\sqrt{3}-1\right)^2-4\left(\sqrt{3}-1\right)-6\\h\left(\sqrt{3}-1\right)=2\left(3-2\sqrt{3}+1\right)-4\sqrt{3}+4-6\\h\left(\sqrt{3}-1\right)=6-4\sqrt{3}+2+4-6\\h\left(\sqrt{3}-1\right)=-4\sqrt{3}+6 [/tex]
2. (b)
[tex] h(x)=-6\\2(x-1)^2-8=-6\\2(x^2-2x+1)-8=-6\\2x^2-4x+2-8=-6\\2x^2-4x-6=-6\\2x^2-4x=0\\2x(x-2)=0\\2x=0\text{ ou }x-2=0\\x=0\text{ ou }x=2\\\\S=\left\{0, 2\right\} [/tex]
-6 a donc deux antécédents : 0 et 2
2. (c)
Nous savons que la courbe représentative de la fonction [tex] h(x) [/tex] est une parabole tournée vers le haut car elle est de la forme [tex] ax^2+bx+c [/tex] et [tex] a>0 [/tex]
Nous pouvons ainsi déterminer le tableau de variations de cette fonction.
La fonction est décroissante sur l'intervalle ]-infini, 1]
La fonction est croissante sur [1, +infini[
Elle admet donc un minimum en [tex] h(1)=-8 [/tex]
[tex] \begin{array}{c|ccccccccc|}x&-\infty&&-1&&1&&3&&+\infty\\h(x)&&\searrow&_0&\searrow&_{-8}&\nearrow&^0&\nearrow&\\\end{array} [/tex]
2. (c)
D'après le cours, nous savons que si [tex] a>0 [/tex] nous avons :
[tex] \begin{array}{c|ccccccc|}x&-\infty&&-1&&3&&+\infty\\h(x)&&+&&-&&+\end{array} [/tex]
