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Bonjour,
Premièrement, il s'agira de trouver le point d'intersection (abscisse) entre les courbes représentatives de f et g.
[tex]f(x)=g(x)\\\iff x^2-3x+4=1+\dfrac{1}{x},x\neq 0\\\\\iff x^2-3x+4-1-\dfrac{1}{x}=0\\\\\iff x^2-3x+3-\dfrac{1}{x}=0\\\\\iff \dfrac{x^3-3x^2+3x-1}{x}=0\\\\\iff x^3-3x^2+3x-1=0\text{ car }x\neq 0\\\iff x^3-3\times x^2\times 1+3\times x\times 1^2-1^3=0\\\rightarrow \text{ forme }a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3\\\iff (x-3)^3=0\\\iff x-1=0\\\iff x=1\\\\S=\left\{1\right\}[/tex]
Nous avons maintenant l'abscisse en laquelle la tangente est commune aux deux courbes représentatives de f et g.
D'après le cours nous avons : [tex]y_{tangente}=f'(\alpha)(x-\alpha)+f(\alpha)[/tex]
Pour la fonction f :
[tex]f(x)=x^2-3x+4\\\rightarrow f'(x)=2x-3\\\\\rightarrow f(1)=1-3+4=2\\\rightarrow f'(1)=2-3=-1\\\\\rightarrow y_f=f'(1)(x-1)+f(1)\\\iff y_f=-1(x-1)+2\\\iff y_f=-x+1+2\\\iff y_f=-x+3[/tex]
Pour la fonction g :
[tex]g(x)=1+\dfrac{1}{x}\\\\\rightarrow g'(x)=-\dfrac{1}{x^2}\\\\\\\rightarrow g(1)=2\\\rightarrow g'(1)=-1\\\\\rightarrow y_g=g'(1)(x-1)g(1)\\\iff y_g=-1(x-1)+2\\\iff y_g=-x+1+2\\\iff y_g=-x+3[/tex]
[tex]y_f=y_g[/tex]
Nous avons bien démontré que dans un repère, les courbes représentatives des fonction f et g ont une tangente commune.