1) u(1) = 3*u(0) -2*0 + 1 = 3*2 + 1 = 7
u(2) = 3*u(1) -2*1 + 1 = 3*7 - 2 + 1 = 20
u(3) = 3*u(2) -2*2 + 1 = 3*20 - 4 + 1 = 57
2) On va procéder par méthode de contre-exemple :
Si (un) était arithmétique alors nécessairement la différence entre n'importe quels termes consécutifs de cette suite serait constante. Mais ici u(3)-u(2) est différent de u(2)-u(1). Donc (un) n'est pas arithmétique.
De même si (un) était géométrique alors nécessairement, le quotient de n'importe quels termes consécutifs (non nuls, on ne peut diviser par 0) de cette suite serait constant. Mais ici u(3)/u(2) est différent de u(2)/u(1). Donc (un) n'est pas géométrique.
3) Faisons ce qui est décrit dans l'aide :
v(n+1) = u(n+1) -(n+1)
remplaçons u(n+1) par la formule de récurrence de l'énoncé :
v(n+1) = 3u(n) - 2n + 1 -(n+1)
v(n+1) = 3u(n) -3n = 3[u(n) -n]
d'où v(n+1) = 3 v(n) ou encore v(n+1)/v(n) = 3 pour v(n) non nul.
Le rapport entre chaque terme consécutif de la suite v(n) est constant et égal à 3. Donc (vn) est une suite géométrique de raison 3 et de premier terme v(0) = u(0) - 0 = u(0) = 2
4) D'après le cours, il existe une seconde formule pour caractériser les suites géométriques : [tex]v(n) = v(0) *q^{n}[/tex] avec q la raison de la suite.
Donc ici : [tex]v(n) = 2 *3^{n}[/tex]
5) On sait que u(n) = v(n) + n
donc on en déduit en remplacant v(n) :
[tex]u(n) = 2 *3^{n}+ n[/tex]
6) On voit clairement d'après cette formule que u(n) est strictement croissante et même qu'elle va diverger vers + l'infini. (3 puissance n et n sont des termes qui divergent vers + l'infini)
