soit m un nombre réel
(m - 1) x² - (m - 2) x + (6 - m) = 0
Déterminer le nombre de solutions de cette équation dans R selon la valeur de m
Δ = (m - 2)² - 4(m - 1)(6 - m) = m² - 4 m + 4 - 4(6 m - m² - 6 + m)
Δ = m² - 4 m + 4 - 4(7 m - m² - 6 ) = m² - 4 m + 4 - 28 m + 4 m² + 24
Δ = 5 m² - 32 m + 28 ⇒ équation du second degré en m
1er cas : si Δ > 0 ⇔ 5 m² - 32 m + 28 > 0 alors l'équation initiale en x possède deux solutions distinctes x1 et x2
5 m² - 32 m + 28 > 0
δ = 32² - 4*5*28 = 1024 - 560 = 464 ⇒ √464 = 4√29
m1 = (32 + 4√29)/10 ≈ 5.35
m2 = (32 - 4√29)/10 ≈ 1.05
pour que l'équation possède deux racines distinctes il faut que
m ∈ ]- ∞ ; 1.05[U]5.35 ; + ∞[
2ème cas si Δ = 0 ⇒ l'équation initiale en x possède une seule solution
pour m = 5.35 ⇒ x = - b/2a = (m-2)/2(m-1) = (5.35 - 2)/2(5.35 - 1) = 3.35/8.7 ≈ 0.39
pour m = 1.05 ⇒ x = - b/2a = - 0.95/0.1 = - 9.5
3ème cas si Δ < 0 ⇒ pas de solutions
donc pour m ∈]1.05 ; 5.35[
