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Annemarie26
Answered

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bonjour pourriez vous m'aider à ces questions svp et merci d'avance :
soit x un réel strictement positif
1) Montrer que 1+√1+x >2 puis déduire que
[tex] 0 < \frac{1}{ 1 + \sqrt{1 + \times } } < \frac{1}{2} [/tex]
2) Montrer que
[tex]1 < \sqrt{1 + x} < 1 + \frac{x}{2} [/tex]
Puis donner un encadrement au
[tex] \sqrt{1.04} [/tex]

Sagot :

Greencalogero

Bonjour,

1) On sait que:                                                                                                   x>0                                                                                                                    

1+x>1                                                                                                              

√(1+x)>1 (car la fonction racine est strictement croissante sur R)          

 1+√(1+x)>1+1                                                                            

 1+√(1+x)>2----->CQFD

On peut alors écrire que:                                                                          

1/(1+√(1+x))<1/2                                                                                                

 De plus, ∀x∈R 1+(1+√1+x)>0 donc son inverse aussi donc on en déduit

que:        

0<1/(1+√(1+x))<1/2----> CQFD


2) x>0                                                                                                                

 1+x>1                                                                                                            

 √(1+x)>1


1/(1+√(1+x))<1/2                                                                                          

x/(1+√(1+x))<x/2                                                                                        

1+x/(1+√(1+x))<1+x/2                                                                                        

1+x(1-√(1+x))/(1+√(1+x))(1-√(1-√1+x))<1+x/2 (après un calcul fastidieux)          

√(1+x)<1+x/2                                                                                                      

On en déduit alors: 1<√(1+x)<1+x/2

D'où:                                                                                                              

1<√(1+0.04)<1+0.04/2                                                                                      

1<√1.04<1.02


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