Bonjour,
1) La contraposée de "A ⇒ B" est "(non B) ⇒ (non A)" (on note aussi : ¬B ⇒ ¬A)
Tableau de vérité de "A ⇒ B" :
(Pour raisonner tu peux imaginer par exp : A = il pleut et B = le sol est mouillé)
A B A⇒B
0 0 1 il ne pleut pas et le sol n'est pas mouillé : vrai
0 1 1 il ne pleut pas et le sol est mouillé : vrai (car il peut être mouillé autrement que par la pluie...)
1 0 0 il pleut et le sol n'est pas mouillé : faux
1 1 1 il pleut et le sol est mouillé : vrai
Tableau de vérité de "(non B) ⇒ (non A)" :
(dans mon exp., non B = le sol n'est pas mouillé et non A = il ne pleut pas)
non B non A (non B) ⇒ (non A)
0 0 1 sol mouillé et il pleut : vrai
0 1 1 sol mouillé et il ne pleut pas : vrai
1 0 0 sol non mouillé et pleut : faux
1 1 1 sol non mouillé et il ne pleut pas : vrai
On constate bien que les 2 tableaux sont identiques.
2) Pour tout n ∈ N / n ≥ 2 :
"Si n est impair, alors (n² - 1) est divisible par 8"
3) n impair ⇒ il existe p ∈ N tel que n = 2p + 1
Si p est pair, il existe k ∈ N tel que p = 2k, soit n = 4k + 1
Si p est impair, il existe k' ∈ N tel que p = 2k' + 1, soit n = 4k' + 2 + 1 = 4k' + 3
Donc le reste de tout entier n ≥ 2 et impair est 1 ou 3.
Soit n = 4k + r avec k ∈ N et r ∈ {1,3}
4) N impair ⇒ ili existe k ∈ N tel que n = 4k + r avec r ∈ {1,3}
⇒ (n² - 1) = (4k + r)² - 1
⇔ (n² - 1) = (4k + r - 1)(4k + r + 1)
Si r = 1 : (n² - 1) = (4k)(4k + 2) = 2(4k)(2k + 1) = 8k(2k + 1) donc (n² - 1) div. par 8
Si r = 3 : (n² - 1) = (4k + 2)(4k + 4) = 2(2k + 1)4(k + 1) = 8(2k+ 1)(k + 1) donc div. par 8
5) oui car la contraposée de "(non Q) ⇒ (non P)" est "P ⇒ Q"
