Bonjour,
Remarque : JK = √(3² + 4²) = 5 donc x ∈ [0;5}
SR ≥ 0 donc SR est minimale est équivalent à SR² est minimale.
SR² = LR² + LS² (1)
Les triangles LKJ et RMJ sont semblables. Donc les angles (LKJ) et (RMJ) sont égaux. (Et de même, les angles (LJK) et (RJM) sont égaux)
on en déduit les égalités des cos, sin et tan :
JL/JK = RJ/MJ, LK/JK = MR/MJ et JL/LK = JR/MR
soit : 4/5 = RJ/x , 3/5 = MR/x et 4/3 = JR/MR
on en déduit :
JR = 4x/5 et MR = 3x/5
⇒ LR = JL - JR = 4 - 4x/5
et LS = MR = 3x/5
Donc (1) ⇔ SR² = (4 - 4x/5)² + (3x/5)²
⇔ SR² = (20 - 4x)²/25 + 9x²/25 = (400 - 160x + 25x²)/25
On va poser f(x) = 25x² - 160x + 400
⇒ f'(x) = 50x - 160
f'(x) = 0 ⇒ x = 160/50 = 3,2
⇒ tableau de variations de f :
x 0 3,2 5
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. crois.
Donc f atteint un minimum pour x = 3,2
et f(3,2) = ... 144
⇒ SR² = 144/25 ⇒ SR = 12/5 = 2,4 cm
