Si [tex]\dfrac{2 \alpha+11}{\alpha +1} \in N[/tex]
alors on dit que α+1 divise 2α+11
autrement dit il existe n∈N tel que 2α+11 = n(α+1)
ce qui se réécrit : (2-n)α= n-11
soit [tex]\alpha = \dfrac{n-11}{2-n}[/tex]
On sait que α doit être positif comme α∈N
donc les seuls valeurs possibles de n appartiendront à ] 2 ;11 ]
de plus (toujours comme α∈N) il est nécessaire que [tex]\dfrac{n-11}{2-n} \geq 1[/tex] (si on met de côté le cas α=0 qui est une solution évidente et qui correspond à n=11)
donc il faut n-11 ≤ 2- n (c'est un signe "≤" car le numérateur et le dénominateur sont tous les deux négatifs sur ]2 ; 11] ! et donc on inverse le signe en multipliant par un nombre négatif)
donc il faut n ≤13/2 = 6,5 donc n≤6 car n est entier
donc finalement il ne reste que quatre valeurs de n possibles : {3, 4 ,5, 6}
on vérifie que ça marche pour n∈{ 3 ; 5}
et les valeurs de α associées sont : { 8 ; 2}
on vérifie que cela marche bien :
[tex]\dfrac{2*8+11}{8+1} = \dfrac{27}{9} = 3[/tex]
[tex]\dfrac{2*2+11}{2+1} = \dfrac{15}{3} = 5[/tex]
Donc en n'oubliant pas le cas α=0
l'ensemble des solutions est { 0 ; 2 ; 8}
