taux annuel = 1,8 % --> taux mensuel ( proportionnel ) = 0,15 % par mois .
Co = 650 €uros ( au 31 janvier ) ;
C1 = (Co - 150) x 1,0015 + 300 = Co x 1,0015 + 149,775 = 800,75 € (au 28 février)
C2 = ( C1 - 150 ) x 1,0015 + 300 = 951,726 €uros ( au 31 mars ) ;
C3 = ( C2 - 150 ) x 1,0015 + 300 = 1102,93 €uros ( au 30 avril ) ;
C4 = ( C3 - 150 ) x 1,0015 + 300 = 1254,36 €uros ( au 31 mai ) ; ...
Cn+1 = ( Cn - 150) x 1,0015 + 300 --> Cn+1 = Cn x 1,0015 + 149,775 .
2°) Vn = Cn + 100 000
--> Vn+1 = Cn+1 + 100 000 = Cn x 1,0015 + 100 149,775
= ( Cn + 99 999,775 ) x 1,0015
≈ Vn x 1,0015
donc on peut admettre que la suite (Vn) est proche d' une suite géométrique de raison q = 1,0015 . Vo = Co + 100 000 = 100 650 .
2b) Vn = Vo x 1,0015 puissance n = 100 650 x 1,0015 puiss n .
Cn = ( 100 650 x 1,0015 puiss n ) - 100 000 .
2c) fin janvier 2018 = rang zéro --> fin décembre 2018 = rang 11 --> fin décembre 2019 = rang 23 --> fin août 2020 = rang 31 .
n = 31 donne V31 = 105 437,07
d' où C31 = 5437,07 €uros ( au 1er septembre 2020 ) .
vérif : C31 doit être supérieur à 500 + 150 x 32 = 5300 €uros --> vérifié !
2d) la suite (Vn) est croissante puisque la raison q > 1 et Vo positif .
Donc la suite (Cn) est aussi croissante !
( on peut dire que "graphiquement" , ces deux suites sont "parallèles" ) .
2e) pour n tendant vers +∞ , on a LimVn = +∞ ; et LimCn = +∞ aussi !
2f) cherchons n tel que Vn > 107 500 :
100 650 x 1,0015 puiss n > 107 500
1,0015 puiss n > 1,06805762
n > Ln 1,06805762 / Ln 1,0015
n > 43,9
conclusion : on retient n = 44 , ce qui correspond à fin septembre 2021 .
Vérif : ( 100 650 x 1,0015 puiss 44 ) - 100 000 ≈ 7511,70 €uros !
