Question c
Ci-joint le code de l’algorithme (réalisé avec le logiciel gratuit Algobox)
Question d
[tex]x^2=\frac{x+1}{2}[/tex] ⇔ [tex]2x^2=x+1[/tex]⇔[tex]2x^2-x-1=0[/tex]
Calcul du discriminant Δ = b²-4ac
Δ=1 - 4 × 2 × (-1) = 9
Calcul des racines de [tex]2x^2-x-1[/tex]
[tex]x_1= \frac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{1+3 }{4}=1[/tex]
[tex]x_2= \frac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \frac{1-3 }{4}=- \frac{1}{2}[/tex]
Conclusion
Les solutions de l'équation caractéristique sont donc [tex]\{-\frac{1}{2} ; 1 \}[/tex]
Question e
[tex]V_n=\alpha q^n+\beta r^n[/tex]
Or [tex]V_0=0[/tex] donc [tex]\alpha q^0+\beta r^0 =0[/tex]
et donc [tex]\alpha +\beta =0[/tex] ⇔ [tex]\alpha = -\beta[/tex]
De plus [tex]V_1=1[/tex] donc [tex]\alpha q^1+\beta r^1 =1[/tex]
Donc [tex]\alpha q+\beta r=1[/tex]
Or q et r sont les solutions de l'équation caractéristique résolue à la question précédente : [tex]q=1 \ et \ r=- \frac{1}{2}[/tex]
Donc [tex]\alpha - \frac{1}{2} \beta =1[/tex]
Nous avons vu que [tex]\alpha = -\beta[/tex]
Donc [tex]-\beta - \frac{1}{2} \beta =1[/tex] ⇔[tex]\frac{3}{2} \beta =-1[/tex]
Donc [tex]\beta = -\frac{2}{3}\ et\ \alpha =\frac{2}{3}[/tex]
Par conséquent [tex]V_n=\frac{2}{3} -\frac{2}{3} *(\frac{-1}{2} )^n[/tex]
Question f
L'expression ci-dessus permet effectivement de retrouver les mêmes valeurs que celles calculées à la question a. (vérifié sur excel)
