Dire qu'une fonction f est croissante revient à dire que si on prend deux réels d'un même intervalle x et y tels que x < y alors f(x) < f(y) ou encore f(x)-f(y) < 0
On va faire ça pour f(x)=x^3 qu'on définit sur ]-oo ; 0]. Soit x et y de ]-oo;0] tels que x < y . on va calculer :
f(x)-f(y) = x^3 - y^3 = (x-y)(x²+xy+y²)
Premièrement comme x<y on a (x-y)<0
ensuite x²>0 ; y² > 0 et comme x et y sont tous deux négatifs ou nuls : xy > 0
donc (x²+xy+y²) >0
on en déduit par produit que la quantité f(x)-f(y) est négative
d'où f(x)<f(y)
Comme cela est vraie pour tout x,y appartenant à ]-oo;0] avec x<y
on en déduit que f est croissante sur cet intervalle.
