Bonjour,
1) U₁ = 1
U₂ = 7/3 et U₃ = 25/13
⇒ U₂/U₁ = 7/3 et U₃/U₂ = 75/91 ≠ 7/3 ⇒ (Un) non géométrique
et U₂ - U₁ = 4/3 alors que U₃ - U₂ = .... ≠ 4/3 ⇒ (Un) non arithmatique
2) Vn = (Un - 2)/(Un + 3)
⇒ Vn+1 = (Un+1 - 2)/(Un+1 + 3)
Un+1 - 2 = (6 + Un -4 - 2Un)/(2 + Un) = (2 - Un)/(2 + Un)
et Un+1 + 3 = (6 + Un + 6 + 3Un)/(2 + Un) = (12 + 4Un)/(2 + Un)
⇒ Vn+1 = (2 - Un)/(12 + 4Un) = (2 - Un)/4(3 + Un) = (-1/4) x Vn
⇒ (Vn) suite géo de raison q = -1/4 et de 1er terme V₁ = (U₁ - 2)/(U₁ + 3) = -1/4
3)a) on en déduit : Vn = (-1/4) x (-1/4)ⁿ⁻¹ = (-1/4)ⁿ (puissance n-1 car définie pour n≥1)
b) Vn = (Un - 2)/(Un + 3)
⇔ (Un + 3)Vn = (Un - 2)
⇔ Un(Vn - 1) = -2 - 3Vn
⇔ Un = (2 + 3Vn)/(1 - Vn)
c) Un = (2 + 3(-1/4)ⁿ)/(1 - (-1/4)ⁿ)
d) quand n → +∞, (-1/4)ⁿ → 0 donc lim Un = 2
Ex 2)
par récurrence : 4x3⁰ - 1 = 4 - 1 = 3 = U₀ donc validé au rang n = 0
on suppose qu'au rang n : Un = 4x3ⁿ - 1
Au rang (n+1) : un+1 = 3Un + 2
= 3(4x3ⁿ - 1) + 2 par hypothèse de récurrence
= 4x3ⁿ⁺¹ - 3 + 2
= 4x3ⁿ⁺¹ - 1
⇒ hérédité démontrée
⇒ Pour tout n ∈ N, Un = 4x3ⁿ - 1
