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Sagot :
A(2 ; 4) B(- 1 ; 2) C(6 ; - 2)
1) a) montrer que le triangle ABC est rectangle en A
il faut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore
tout d'abord il faut calculer :
AB² = (- 1 - 2)² + (2 - 4)² = (- 3)² + (- 2)² = 9+4 = 13
AC² = (6 - 2)² + (- 2 - 4)² = 4² + (- 6)² = 16 + 36 = 52
BC² = (6+1)²+(- 2 - 2)² = 7² + (-4)² = 49+16 = 65
AB²+ AC² = 13 + 52 = 65
BC² = 65
⇒ l'égalité est vérifiée donc le triangle ABC est rectangle en A
b) en déduire que (BC) est le diamètre du cercle C
Le triangle ABC inscrit dans le cercle C , puisque l'angle A est droit donc il est opposé au diamètre du cercle qui est (BC)
⇒ (BC) est le diamètre du cercle
2) calculer les coordonnées du centre de C ainsi que le rayon de C
Le centre Ω(a ; b) est le milieu de (BC) = ((6-1)/2 ; (- 2 + 2)/2)= (2 ; 0)
Ω(2 ; 0)
le rayon R = BC/2 = √65/2
L'équation du cercle est (x - 2)² + y² = R² = 65/4 = 16.25
3) le point de coordonnées (0 ; - 3) appartient-il à C
(0 - 2)² + (-3)² = 4 + 9 = 13 ≠ 16.25 ⇒ (0 ; - 3) ∉ C
4) déterminer les coordonnées des points d'intersection de C avec l'axe des abscisses
il suffit d'écrire y = 0 ⇒ (x - 2)² = R² ⇔ (x - 2)² - R² = 0 identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b)
(x - 2 + R)(x - 2 - R) = 0 ⇒ x = 2 - R ; x = 2 + R
on remplace R par sa valeur ≈ 4
x = 2 - 4 = - 2 ⇒ (- 2 ; 0)
x = 2 + 4 = 6 ⇒ (6 ; 0)
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