Bonjour,
1) g(x) = x³ - 3x - 3
a) g'(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1)
x -∞ -1 1 +∞
x+1 - 0 + +
x-1 - - 0 +
g'(x) + 0 - 0 +
g(x) crois. décrois. crois.
b) g(3) = 15
c) g(-1) = -1, g(1) = -5, lim g(x) en +∞ = +∞ et g est croissante sur [1;+∞[
donc il existe un unique α ∈ [1;+∞[ tel que g(α) = 0
d) 2,103 < α <2,104
e) on en déduit :
x -∞ α +∞
g(x) - 0 +
2) f(x) = (2x³ + 3)/(x² - 1)
de la forme u/v avec :
u(x) = 2x³ + 3 ⇒ u'(x) = 6x²
et v(x) = x² - 1 ⇒ v'(x) = 2x
f' = (u'v - uv')/v²
⇒f'(x) = [(6x²(x² - 1) - 2x(2x³ + 3)]/(x² - 1)²
= (6x⁴ - 6x² - 4x⁴ - 6x)/(x² - 1)²
= 2x(x³ - 3x - 3)/(x² - 1)²
= 2xg(x)/(x² - 1)²
