Bonjour;
1)
a)
Les triangles OAB , OAC et OBC sont des triangles rectangles isocèles en O ; donc on a : OA = OB = OC = 4 cm .
Pour le triangle OAB et en appliquant le théorème de Pythagore; on a :
AB² = OA² + OB² = 2 OA² = 2 * 4² cm² ; donc : AB = 4√2 cm .
Les droites (MN) et (AB) sont parallèles, et les droites (AM) et (BN) se coupent au point O , donc en appliquant le théorème de Thalès on a :
MN/AB = OM/OA ;
donc : MN/(4√2) = x/4 ;
donc : MN = √2 x .
b)
Les droites (MQ) et (OC) sont parallèles, et les droites (CQ) et (OM) se coupent au point A , donc en appliquant le théorème de Thalès on a :
MQ/OC = AM/AO ;
donc : MQ/OC = (AO - OM)/AO ;
donc : MQ/4 = (4 - x)/4 ;
donc : MQ = 4 - x .
2)
A(x) = MN * MQ = √2 x(4 - x).
3)
A(x) = √2 x(4 - x) = - √2 x² + 4√2 x est une fonction de second degré dont la courbe représentative dans un repère orthonormé est un arc de parabole de sommet M dont l'abscisse est :
- 4√2/(- 2√2) = 2 et l'ordonnée est : A(2) = 4√2 .
On a aussi : A(x) = 0 si √2 x(4 - x) = 0 ;
donc : x = 0 ou 4 - x = 0 ;
donc : x = 0 ou x = 4 ;
donc A s'annule pour x = 0 et x = 4 .
Le coeffient de second degré de A est : - √2 < 0 ;
donc A est croissante sur [0 ; 2] et décroissante sur [2 ; 4] .
