1) les points d'intersection de P et D sont ceux qui vérifient les deux équations, soit les solutions de
[tex]2x^{2}-7x+3=10x+12[/tex]
soit
[tex]2x^{2}-17x-9=0[/tex]
On calcule le discrimant Δ = (-17)²- 4 * 2 * (-9) = 361
Le discriminant est strictement positif, il y a donc deux solutions
x1 = (-(-17) - √361)/(2*2) = (17 - 19)/4 = -1/2
x2 = (-(-17) + √361)/(2*2) = (17+19)/4 = 9
On calcule les valeurs de y correspondantes en utilisant g(x) (on pourrait aussi le faire avec f(x) mais g(x) est plus simple)
y1 = g(x1) = 10 * (-1/2) + 12 = 7
y2 = g(x2) = 10 * 9 + 12 = 102
Les points d'intersection de P et D sont (-1/2, 7) et (9, 102)
2) Pour connaitre la position relative de P et de D, on va étudier le signe de f(x) - g(x)
- si f(x) - g(x) > 0, P est au dessus de D
- si fx(x) - g(x) < 0, P est en dessous de D
[tex]f(x)-g(x)=2x^{2}-7x+3-(10x+12)=2x^{2}-17x-9[/tex]
En question 1), on a calculé les deux racines de ce polynome.
Pour un polynome de la forme a x² + b x + c avec un discriminant positif donc ayant deux racines x1 et x2 , on a
- Entre ]-∞, x1[, le signe est celui du coefficient "a"
- En x1, le polynome est nul (0)
- Entre ]x1, x2[, le signe est celui de "-a"
- En x2, le polynome est nul (0)
- Entre ]x2, +∞[, le signe est celui dcoefficient "a"
Dans le cas présent a = 2, d'où:
- Entre ]-∞, -1/2[, f(x)-g(x) est positif: P est au dessus de D
- En x=-1/2, il y a intersection de P et D
- Entre ]-1/2, 9[, f(x)-g(x) est négatif: P est en dessous de D
- En x=9, il y a intersection de P et D
- Entre ]-9, +∞[, f(x)-g(x) est positif: P est au dessus de D
