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Sagot :
1) Un n'est pas divergente: si on calcule la limite de Un quand n tend vers l'infini, on voir que Un converge vers a/2
Pour le démontrer, on écrit Un différement pour n ≠ 0
[tex]Un=\frac{a+\frac{b}{n}}{2+\frac{1}{n}}[/tex]
lim (u/v) = lim(u)/lim(v)
lim(a+b/n) = a quand n tend vers l'infiini
lim(2+1/n) = 2 quand n tend vers l'infini
d'où lim(Un) = a/2 quand n tend vers l'infini
2) D'après le résultat de 1), il faut avoir a = 1 pour que Un converge vers 1/2
On va maintenant s'intéresser à la limite de Vn
Vn = n (2Un-1)
[tex]Vn=n(2\frac{a*n+b}{2n+1}-1)[/tex]
[tex]Vn=n(\frac{2*a*n+2*b-2n-1}{2n+1})[/tex]
[tex]Vn=\frac{n((2a-2)n+(2b-1))}{2n+1}[/tex]
Sur le même principe, on peut utiliser lim (u/v) = lim(u)/lim(v) pour calculer la limite de Vn quand n tend vers l'infini
Pour cela, on peut écrire Vn différement pour n ≠ 0
[tex]Vn=\frac{((2a-2)n+(2b-1))}{2+\frac{1}{n}}[/tex]
- Lim(2 + 1/n) = 2 quand n tend vers l'infini
- Pour lim((2a-2)n + (2b-1)) quand n tend vers l'infini, il y a trois cas
- soit a = 1, dans ce cas l'expression est constante: la limite est (2b - 1)
- soit a > 1, dans ce cas la limite est +∞
- soit a < 1, dans ce cas la limite est -∞
Donc si on souhaite que Vn converge, il faut que avoir a = 1
Avec a = 1, la limite de Vn est (2b - 1)/2, d'où b = 1 si on veut que la limite de Vn soit 1/2
Il est donc possible que Un et Vn convergent vers 1/2 si les paramètres sont a = 1 et b = 1
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