Bonjour;
1)
ABCD est un rectangle; donc le triangle ABC est rectangle en B et le triangle ADC est rectangle en D , donc en appliquant le théorème de Pythagore , on a: AC² = AB² + BC² et AC² = AD² + DC² , donc on a :
AC² = AB² + BC² = AD² + DC² .
2)
L'aire du disque initial est : π/4 AC² .
L'aire du demi-disque de diamètre AD est : π/8 AD² .
L'aire du demi-disque de diamètre BC est : π/8 BC² .
L'aire du demi-disque de diamètre AB est : π/8 AB² .
L'aire du demi-disque de diamètre DC est : π/8 DC² .
On conclue que l'aire totale des 4 demi-disques est :
π/8 AB² + π/8 BC² + π/8 CD² + π/8 DA² = π/8 (AB² + BC² + CD² + DA²)
= π/8 (2AB² + 2BC²) = π/4 (AB² + BC²) = π/4 AC² ;
donc le disque initial a la même aire que les 4 demi-disques réunis .
3)
Soient BB , DD , JJ , NN et RR respectivement les aires de la surface coloriée en bleu , des 4 demi-disques , de la surface coloriée en jaune , du disque initial et du rectangle ABCD colorié en rouge .
On a donc :
BB = DD - JJ = DD - (NN - RR) = DD - NN + RR = RR car DD = NN ,
donc les surfaces coloriées en rouge et en bleu sont de même aire.
Question Bonus.
Ce problème s'appelle : les lunules d'Hippocrate .
Hippocrate de Chios est né à Chios vers - 470, et mort vers - 410. Hippocrate est un mathématicien grec. À Athènes en - 430 a, ses interêts en Géométrie commencèrent sur la quadrature du cercle. Il écrivit le premier ouvrage d’éléments de géométrie connu, un siècle avant Euclide.
Il détermina l’aire de lunules, la proportion des surfaces de deux cercles et les carrés de leurs rayons. Il étudia le problème de la duplication du cube.
Pour obtenir les lunules d'Hippocrate , on trace les trois demi-cercles de diamètres les côtés d'un triangle rectangle.
Un calcul d'aire montre que l'aire du riangle rectangle est égal à la somme des aires des deux lunules.
