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Sagot :
[tex]Bonjour;\\\\\\1)\ \textit{Initialisation : }u_0=2>1\ .\\\\\\\textit{H\'er\'edit\'e :}\\\\\\\textit{Supposons pour n }\in\mathbb N\ :\ u_n>1\ ;\\\\\\u_n>1\Rightarrow u_n+3>4\Rightarrow\dfrac{1}{4}>\dfrac{1}{u_n+3}\Rightarrow\dfrac{-8}{u_n+3}>\dfrac{-1}{4}\\\\\\\Rightarrow3-\dfrac{8}{u_n+3}>3-\dfrac{1}{4}=\dfrac{11}{4}>1\\\\\\\Rightarrow\dfrac{3u_n+9-8}{u_n+3}>1\Rightarrow\dfrac{3u_n+1}{u_n+3}>1\Rightarrow u_{n+1}>1\ .\\\\\\Conclusion\ :\ \forall n\in\mathbb N\ ,\ u_n>1\ .[/tex]
[tex]2)\\\\\\a)\\\\\\u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+3u_n}{3+u_n}-u_n=\dfrac{1+3u_n-3u_n-u_n^2}{3+u_n}\\\\\\=\dfrac{1-u_n^2}{3+u_n}=\dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}\ .[/tex]
[tex]b)\\\\\\\textit{On a }u_n>1\textit{ pour tout n nombre entier naturel,}\\\\\\\textit{donc on a : }1-u_n<0\ donc\ \dfrac{(1-u_n)(1+u_n)}{3+u_n}<0\ donc\ :\\\\\\u_{n+1}-u_n<0\textit{ donc }(u_n)_{n\in\mathbb N}\textit{ est d\'ecroissante .}[/tex]
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