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Voici ma proposition :
[tex]x + \sqrt{\mid{x^2-1\mid }}=0 \iff x=-\sqrt{\mid{x^2-1\mid }}[/tex]
Donc, une racine carrée étant toujours positive ou nulle dans |R, [tex]x\leq 0[/tex] (notons (A) cette remarque.)
De plus [tex]x=-\sqrt{\mid{x^2-1\mid }}\Rightarrow x^2=\mid{x^2-1}\mid[/tex]
Or [tex]x^2-1\geq 0 \iff x^2-1=\mid{x^2-1}\mid[/tex]
et [tex]x^2-1 \leq 0 \iff 1-x^2=\mid{x^2-1}\mid[/tex]
Il faut donc étudier le signe de [tex]x^2-1[/tex] pour remplacer [tex]\mid{x^2-1}\mid[/tex] par [tex](x^2-1)[/tex] ou par [tex](1-x^2)[/tex].
Un polynôme du second degrés (ax² + bx + c) est du signe du coefficient (a) de x² sauf entre ses racines.
[tex]x^2-1=0 \iff x^2 = 1 \iff x\in\{(-1);1\}[/tex]
Les racines de [tex]x^2-1[/tex] sont donc (-1) et 1.
Donc
[tex]x\in\ [-1;1\ ] \iff x^2-1\leq0\iff \mid{x^2-1}\mid=1-x^2[/tex]
et
[tex]x\in\ ]-\infty ;-1\ ] \cup\ [1;+\infty\ [ \iff x^2-1\geq 0\iff \mid{x^2-1}\mid=x^2-1[/tex]
D'après la remarque (A), nous savons que [tex]x\leq 0[/tex].
Nous pouvons donc nous restreindre à x ∈ [-1 ; 0] et x ∈ ]-∞ ; -1].
Lorsque que x ∈ [-1 ; 0], l'équation [tex]x^2=\mid{x^2-1}\mid[/tex] devient donc
[tex]x^2=\mid{x^2-1}\mid=1-x^2\iff2x^2=1\iff x^2=\frac{1}{2} \Rightarrow x= \frac{-1}{\sqrt{2}}= \frac{-\sqrt{2} }{2}[/tex]
Lorsque x ∈ ]-∞ ; -1], l'équation [tex]x^2=\mid{x^2-1}\mid[/tex] devient donc
[tex]x^2=\mid{x^2-1}\mid=x^2-1[/tex]
Cette équation n'a pas de solution.
Conclusion :
[tex]x + \sqrt{\mid{x^2-1\mid }}=0 \iff x=\frac{-\sqrt{2}}{2}[/tex]